法线和逆转置，第2部分：共轭空间

在第一部分中，我们研究了外部代数，并意识到3D中的法线向量可以解释为双向量。通常，要转换双矢量，您需要一个不同于转换普通矢量的矩阵。使用双矢量的规范基础，我们发现这是伴随矩阵，与逆转置成比例。这种推理至少部分地解释了为什么法线被逆转置矩阵变换。

但是一些问题被扫到了地毯下。

我们考虑了伴随矩阵，但没有显示它们与代数证明如何转换平面方程有关$$$N\cdot x + d = 0$需要逆转置矩阵。从某种意义上说，矩阵之间的比例是牵强的。

而且，我们看到了 $$$k$来自外部代数的向量为向量几何对象提供了自然的解释，其中包含长度，面积和体积的单位，这些单位在缩放时会相应更改。但是，对于密度，我们找不到类似的东西-与长度，面积和体积成反比的单位。

在本文中，我们将讨论完成绘画所需要的另一个几何概念。将这个新概念与已经研究过的外部代数相结合，将阐明并解决剩余的问题。

作为向量

本文的大部分内容将重点放在接受和返回各种类型的向量的函数上。要了解它，您需要做一些精神上的翻筋斗，如果您以前从未遇到过，这似乎是违反直觉的。

在这里是：返回向量本身的函数是向量

乍一看，这种说法似乎毫无意义。向量和函数是完全不同的事物，例如苹果和...椅子，对吗？函数从字面上看如何可以是向量？

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! $$$f$ $$$g$ $$$h(x) = f(x) + g(x)$ $$$x$ . , : $$$g(x) = a\cdot f(x)$. , , .

: $$$X$ ( , ) $$$V$ — . $$$f: X \to V$ . , , "". .

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$$$V$, $$$\Bbb R^3$, $$$V$ $$$f: V \to \Bbb R$. , .

( : $$$\Bbb R$, . !)

(3D) (2D), / , . :



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— $$$V$ — , : ( ) . $$$V^*$. ( ) .

, — , $$$V$ $$$\Bbb R$, . $$$n$- $$$n$ , , . , $$$V^*$ , $$$V$.

, $$$\Bbb R^n$ $$$n$ . . , $$$f$ — $$$\Bbb R^3$ $$$v=(x, y, z)$ — , :

$$

$$\begin{aligned} f(v) &= f(x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z}) \\ &= x \, f({\bf e_x}) + y \, f({\bf e_y}) + z \, f({\bf e_z}) \end{aligned}$$

, $$$(x, y, z)$ $$$\bigl(f({\bf e_x}), f({\bf e_y}), f({\bf e_z}) \bigr)$ — !

, : $$$V^*\times V \to \Bbb R$. .

, , , . , , "" . , — , … .

: $$$\langle w, v \rangle$. $$$w$ — $$$V^*$, $$$v$ — $$$V$. , $$$w$ $$$v$. , — , .

:

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle &= \bigl\langle w, \, x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z} \bigr\rangle \\ &= x \langle w, {\bf e_x} \rangle + y \langle w, {\bf e_y} \rangle + z \langle w, {\bf e_z} \rangle \end{aligned}$$

, " " , .

$$$V^*$ $$$V$. , $$$\langle w, {\bf e_x} \rangle, \langle w, {\bf e_y} \rangle, \langle w, {\bf e_z} \rangle$ $$$w$ , $$$x, y, z$ $$$V$. $$${\bf e_x^*}, {\bf e_y^*}, {\bf e_z^*}$ :

$$

$$\begin{aligned} \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_x} \rangle &= 1 \\ \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_y} \rangle &= 0 \\ \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_z} \rangle &= 0 \end{aligned}$$

$$${\bf e_y^*}, {\bf e_z^*}$. :

$$

$$\langle {\bf e}_i^*, {\bf e}_j \rangle = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j, \\ 0 & \text{if } i \neq j, \end{cases} \quad i, j \in \{ {\bf x, y, z} \}$$

$$$V$.

, , , . , . , . .

:

$$$w = p {\bf e_x^*} + q {\bf e_y^*}$:

$$$w$ $$$v$ . $$$\langle w, v \rangle$ :

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle &= \bigl\langle p {\bf e_x^*} + q {\bf e_y^*} + r {\bf e_z^*}, \; x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z} \bigr\rangle \\ &= px + qy + rz \end{aligned}$$

, ( ), , , .

! "" ( ), ( 3D), ( ). !

— , . ?

: . , . : - . ( , ).

: $$$M$, $$$f(v)$, $$$g(v)$. $$$g$ $$$f$ :

$$

$$g(Mv)=f(v)$$

$$

$$g(v)=f(M^{-1}v)$$

, , .

, $$$M$. " " : $$$M$ .

, , . $$$a>0$, $$$v\mapsto av$. $$$f(v)\mapsto f({v\over a})$ .

, . $$$f(v) = \langle w, v \rangle$ $$$w$, $$$a$ ?

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle \mapsto & \left\langle w, \frac{v}{a} \right\rangle \\ = & \left\langle \frac{w}{a}, v \right\rangle \end{aligned}$$

$$$1/a$ , , . , $$$w$ :

$$

$$w \mapsto \frac{w}{a}$$

! $$$a$ , $$$1/a$. "" "" . , , !

, . , (, , , //) - . ( ), " "" ?"

"". , , - , . .

. , , — , . .

. , $$$y$ $$$x$:

$$

$$M = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

:



? : .



, ? $$$\bf e_x^*$. , $$$M$ $$$x$ — . $$$\bf e_x^*$?



$$$\bf e_x^*$ , ! , , $$$x$ , $$$\bf e_x^*$ "" , . , .

, $$$\bf e_x^*$ $$${\bf e_x^*} - \tfrac{1}{2}{\bf e_y^*}$. , , , ,

$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\tfrac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$$

$$$M$!

, , . , , ( ), . $$$M$ :

$$

$$\det M = \text{ } \cdot \text{ }$$

$$

$$\frac{1}{\text{ }} = \frac{1}{\det M} \cdot \text{ }$$

.

$$

$$M^{-T} = \frac{1}{\det M} \cdot \text{}(M)$$

, , .

?

, — 2D 3D. , , :

$$

$$\langle w, v \rangle = d$$

$$$w$ .

, $$$\langle w, v \rangle$ , $$$w \cdot v$. :

$$

$$w\cdot v = d$$

, .

, , .

. , , , ? ?

, . " " , , . , : , $$$B \wedge v = d$ $$$\langle w, v \rangle = d$ . : , — .

这就是我想谈谈法向向量的变换的全部内容，但是还有更多问题待解决。在第一部分的结尾，我问了一个关于负规模的问题。现在我们减去了一级，但是-2和-3呢？为了理解这一点，我们必须将外部代数和对偶空间相结合，这将在第三部分中进行。