法线和反换位,第1部分:外代数

关于线性变换,存在一个如此神秘的事实:其中一些变换,即非均匀缩放和剪切,由于某种原因会区分“普通”矢量和法线。当我们通过矩阵变换“法线”矢量时,由于某种原因,法线需要通过逆转置矩阵进行变换。如何理解呢?



通过简单的计算,您可以确保逆转置矩阵保持法线与其切平面的垂直性。在某种程度上,这种证明是足够的,但它错过了有关其背后所有几何结构的更深层且更有趣的故事。这是我想在接下来的几篇文章中讲述的故事。



单位和比例



在深入探讨本文的核心内容之前,这里有一个简短的摘要。考虑良好的旧均匀缩放比例(所有轴上的一个因子)。很难想到更无害的变换-只是所有向量乘以相同的数字。



但是,经过仔细检查,这里发生的事情并非完全无关紧要。某些数量带有物理“尺寸”或“单位”,例如长度,面积和体积。缩放时,这些值会根据其单位变化。有些值通常是``无量纲的'',缩放后不会改变。



例如,让我们列出在三维空间中缩放时所有可能的单位行为。我们将比例因子表示为a>0... 然后:



  • 无量纲数字不变,换句话说,它们乘以a0...
  • 长度乘以a...
  • 面积乘以a2...
  • 体积乘以a3...

    但这还不是全部:密度也随比例因子的倒数而变化:
  • 线性密度乘以1a...
  • 面积密度乘以1a2...
  • 堆积密度乘以1a3...

    密度可以表示诸如每长度纹理像素的数量,几何概率或体积中的粒子数量之类的东西。如果3D模型在增加的方向按比例缩放,并且纹理的大小不变,则其texel密度会降低,依此类推。


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T=(uvw)(uvw)(Mu)(Mv)(Mw)=(au)(av)(aw)=a3(uvw)=a3T





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M=[300010001]



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B=peyz+qezx+rexy



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Bpeyz+3qezx+3rexy



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MT=[1300010001]



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Bv=0



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: , , -3 3. , k- k0到3。但是,缩放比例为负的矢量单位呢?它们存在吗?如果是这样,它们是什么?



下一集中,我们将进行更深入的挖掘,使我们的几何故事更加复杂。




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