本周（9月16日至26日）在圣彼得堡（实际上）启动了第61届国际数学奥林匹克竞赛，来自114个国家的622名学童参加了该竞赛。
第一次奥林匹克运动会于1959年在罗马尼亚举行，然后只有七个国家的代表参加了奥林匹克运动会。
俄罗斯由六名高中生组成。
给小学生2天4.5小时，以解决6个问题。在评估结果时，建议您尝试解决问题并在评论中进行讨论。
过去几年的结果。
问题1
在凸四边形ABCD内有一个点P，使得
等式∠PAD：∠PBA：∠DPA= 1：2：2 = 3 =∠CBP：∠BAP：∠BPC成立。
证明以下三个直线在一个点处相交：角ADP和角PCB的内部等分线和垂直于线段AB的中点。
问题2
给定实数a，b，c，d使得a> b> c> d> 0且a + b + c + d =1。
证明
（a + 2b + 3c + 4d）a a b b c c d d <1。
问题3
有质量为1、2、3，...，4n的4n个卵石。每个小卵石都用n种颜色之一着色，每种颜色有4个小卵石。 证明小卵石可以分为总重量相等的两堆，这样每堆都包含两种每种颜色的小卵石。
问题4
给出n> 1 的整数。有Ñ 2上的缆车站山坡在不同的高度。两个缆车公司A和B各自拥有k个缆车。每部电梯均定期从一个站点直接转移到另一个更高的站点。公司A的k次转移开始于k个不同的站点；它们也终止于k个不同的站点；转移从上方开始并在上方结束。 B公司满足相同的条件。我们将说两个站已连接缆车，如果您可以使用该公司的一项或多项转乘服务从较低的车站到达较高的车站（禁止在车站之间进行其他转运）。查找已知两家公司连接的两个站点的最小k。
问题5
有n> 1张卡片，每张卡片都包含一个正整数。
事实证明，对于任何两张卡，写在它们上面的数字的算术平均值等于写在由一个或多个卡组成的特定集合的卡上的数字的几何平均值。对于这ñ它说所有写在卡片上的数字是一样的吗？
问题6
证明存在一个正常数c，其以下陈述成立：
令S为平面中n> 1个点的集合，其中任意两个点之间的距离至少为1。点S至ℓ至少为cn -1/3。
（如果直线ℓ与两端属于S的线段相交，则将点S的集合分隔开。）
备注。可以根据常数α> 1/3的值来估计用cn- α替换cn -1/3的较弱结果。