数学家在与古代数值问题的斗争中开启了新的战线

几千年来，数学家一直对奇数完美存在的问题感兴趣。在研究过程中，他们为这些假想对象编制了令人难以置信的限制清单。但是，由于研究了与之接近的其他物体，因此可能出现有关此分数的新想法。

如果存在奇数个完美数字，他们将不得不满足一堆荒谬的限制：



作为一名高中生，佩斯·尼尔森（Pace Nielsen）在90年代中期面临着一个数学问题，直到今天他仍在努力解决。但是他并没有感到沮丧：令他着迷的问题，即奇数的奇数假设一直存在了2000多年，这使它成为数学界最古老的尚未解决的问题之一。



这种长期存在的魅力的一部分来自措辞的简单性。如果数字是正整数n，其除数加起来是数字2n的两倍，则该数字称为完美数。第一个也是最简单的示例是6，其除数1、2、3和6加起来等于12，即2 * 6。然后是28，除数为1、2、4、7、14和28，总共为56。下一个示例为496和8128。



伦纳德·欧拉（Leonard Euler）通过引入他的sigma函数（是一个数的除数之和），在18世纪正式定义了这个定义。因此，对于理想数，σ（n）= 2n。





伦纳德·欧拉（Leonard Euler）制定了许多处理整数的形式规则，



但是毕达哥拉斯（Pythagoras）早在公元前500年就知道整数，而两个世纪后的欧几里得（Euclid）得出了求均数的公式。他证明，如果p和2 ^p -1是质数（它们的除数只有1，而这个数本身是除数），那么2 ^{p − 1} *（2 ^p -1）将是一个理想数。例如，如果p = 2，则公式给出2 ¹ *（2 ^2-1）或6。如果p = 3，则公式给出2 ² *（2^3-1）或28-前两个完美数字。 2000年后，欧拉证明了该公式可以给出所有偶数个完美数，尽管仍然不确定完美数集是有限的还是无限的。



尼尔森，现在是杨百翰大学的教授，对此提出了一个疑问：奇数是否存在奇数？希腊数学家Gerasa的Nicomachus，约公元100年指出所有完美数字都必须是偶数，但没有人证明这一说法。



像21世纪的许多同事一样，尼尔森相信，没有多少完美的数字。并且，他认为，与他们一起，将很快获得该假设的证明。然而，六月他遇到了采取一种新的方法来完成这项任务，也许有能力进一步发展。它与迄今为止发现的所有最接近奇数完美数的对象相关联。

收缩网

尼尔森首先在学校的数学竞赛中了解了完美数字。他深入研究文学，偶然发现了1974年在达特茅斯学院任教的数学家卡尔·波美兰兹（Karl Pomeranz）的作品。他证明了，任何奇数均必须具有至少七个不同的素数。



尼尔森说：“我天真地决定，只要有可能，我就可以在这方面做些事情。” “这启发了我在大学里学习数字理论并试图取得进步。”他于2003年发表的有关奇数完美数的第一篇著作对这些假设数施加了更多限制。他展示了正如莱昂纳德·迪克森（Leonard Dixon）在1913年所证明的那样，不仅具有k个不同质数的奇数完美数的数量是有限的，而且该数的大小也不应超过2 ^{4 k}。



这不是对假设的奇数完美数字的第一个或最后一个限制。例如，1888年，詹姆斯·西尔维斯特（James Sylvester）证明了奇数不能被105整除。1960年，卡尔·诺顿（Carl K. Norton）证明了如果奇数不能被3、5或7整除，则它必须至少具有27个主要因素。保罗·詹金斯（Paul Jenkins）在2003年证明这的奇完全数的最大素因子必须大于10 000 000帕斯卡ochem和Mihaol饶然后发现奇完全数必须大于10 ¹⁵⁰⁰，然后推边界10 ²⁰⁰⁰。尼尔森显示，在2015年，一个奇完全数必须至少有10个不同的质因数。





杨百翰大学的数学家佩斯·尼尔森（Pace Nielsen）



即使在19世纪，限制的数量也是如此，西尔维斯特（Sylvester）得出这样的结论：“出现奇数完美的数-一种逃避围绕他四面八方的复杂条件网-几乎是一个奇迹。”在此类事件发展了一百多年之后，此类数字的存在引发了更多的疑问。



达特茅斯（Dartmouth）数学教授乔恩·沃伊特（Jon Voight） 表示：“只要找到一个例子，证明某事物的存在就很容易。” “但是很难证明不存在的东西。”



到目前为止，主要方法是比较所有限制奇数完美数的条件，以找出它们之间是否存在任何不兼容的现象，也就是说，没有数字可以一次满足两个约束。沃伊特回应西尔维斯特说：“迄今为止，我们所获得的条件错综复杂，使奇数完美的数字变得极不可能。” “而且Pace多年来一直在此列表中添加新项目。”



不幸的是，尚未发现不兼容的属性。因此，除了对奇数完美的限制外，数学家可能还需要新的策略。



为此，尼尔森已经在考虑基于数学家的共同策略的新的攻击计划：通过研究其近亲来研究许多数字。在没有适合直接学习的奇数完美数的情况下，他和他的团队研究了奇数完美数的“模拟”，这与真实数非常相似，但有一些有趣的区别。

了解完美数字

- . σ(n) = 2n, .



:



σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, 20 – .

σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, 28 – .







1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) , , a b – .

2. σ(p^a) = 1 + p + p² + … + p^a p a.



:



σ(20) = σ(2² × 5) = σ(2²) × σ(5) [ ] = (1 + 2 + 2²)(1+5) [ ] = 42



σ（28）=σ（2 ² ×7）=σ（2 ²）×σ（7）[根据第一条规则] =（1 + 2 + 2 ²）（1 + 7）[根据第二条规则] = 56

新诱人的错过

雷内·笛卡尔 （Rene Descartes）于1638年首次发现奇数完美的数字-他是最早认为奇数完美数字可能存在的杰出数学家之一。密苏里大学的数字理论家威廉·班克斯说：“我相信笛卡尔试图找到奇数，并且他的计算使他第一次受到模仿。” 显然，笛卡尔希望他创造的数字可以改变以获得真实的奇数。



但是在深入进行笛卡尔模拟之前，先了解一下数学家如何描述完美数字是有帮助的。欧几里得时间定理指出，任何大于1的整数都可以表示为质数乘以某些幂的乘积。例如，可以将1260这样分解：1260 = 2 ² ×3 ² ×5 ¹ ×7 ¹，而不是单独列出所有36个因子。



一旦数字采用这种形式，由于有两个证明了欧拉的公式，计算求和除数的欧拉sigma函数变得容易得多。首先，他证明了当且仅当a和b是互质数时，即σ（a×b）=σ（a）×σ（b）-也就是说，它们没有共同的质数因子。例如，数字14（2×7）和15（3×5）相对质数。其次，他表明对于正整数幂a中的任何素数p，σ（p ^a）= 1 + p + p ² +…+ p ^a。



返回上一个示例，σ（1 260）=σ（2 ² ×3 ² ×5 ¹ ×7 ¹）=σ（2 ²）×σ（3 ²）×σ（5 ¹）×σ（7 ¹）=（1 + 2 + 2 ²）（1 + 3 + 3 ²）（1 + 5）（1 + 7）= 4368。情况σ（n）不等于2n，这意味着1260不是理想数。





勒内·笛卡尔（Rene Descartes）发现了一个完美数字的第一个模仿物



现在，我们可以解析笛卡尔笛卡尔的模仿物-数198 585 576 189，或3 ² ×7 ² ×11 ² ×13 ² ×22021 ¹。重复以上计算，我们发现σ（198 585 576 189）=σ（3 ² ×7 ² ×11 ² ×13 ² ×22.021 ¹）=（1 + 3 + 3²）（1 + 7 + 7 ²）（1 + 11 + 11 ²）（1 + 13 + 13 ²）（1 + 22.021 ¹）= 397 171 152378。这等于原始数字的两倍，这意味着它应该是一个真正的完美数字-仅22,021不是质数。



因此，这个笛卡尔数是一个模仿。如果我们假装22,021为质数并将欧拉规则应用于sigma函数，那么笛卡尔的数字的行为就像一个完美的数字。但是，22 021实际上是19 ²和61的乘积。如果我们可以正确地将笛卡尔的数字写为3 ² ×7 ² ×11 ² ×13 ² ×19 ² ×61 ¹，则σ（n）不等于2n。弱化一些规则，我们得到的数字似乎可以满足我们的要求-这是模仿的本质。



361年后才发现一个奇数完美的数字的第二个模仿数字。沃伊特（Voight）于1999年做到了这一点，并于四年后发表了这一发现。为什么这么久？ “找到一个仿数字就像找到一个奇数的完美数字；两者在算术上都类似，” Banks说。他们的搜索不是数学家的优先事项。但是，Voight的灵感来自理查德·盖（Richard Guy）的《数论中的未解决问题》的摘录，其中他写了关于寻找新模仿的文章。沃伊特（Voight）尝试了一下，最终找到了一个新的模仿物3 ⁴ ×7 ² ×11 ² ×19 ²×（−127）¹或−22 017 975903。



与笛卡尔的示例不同，此处所有除数均为质数，但其中一个为负数-因此，此数字是一个模拟值，不是真正的奇数完美数。

模拟奇数完美数

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198 585 576 189, 3² × 7² × 11² × 13² × 22 021¹.



-: σ(198 585 576 189) = σ(3² × 7² × 11² × 13² × 22,021¹) = (1 + 3 + 3²)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 13 + 13²)(1 + 22,021¹) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.



22 021 , 19² × 61. .



:



−22 017 975 903, 3⁴ × 7² × 11² × 19² × (−127)¹.



-: σ(−22 017 975 903) = σ(3⁴ × 7⁴ × 11² × 19² × (-127)¹) = (1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 19 + 19²)(1 + (-127)¹) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903



-127 – , – .

Voight于2016年12月在杨百翰大学举办了一次研讨会后，他与尼尔森，詹金斯和其他人讨论了这个数字。此后不久，大学团队着手对其他模仿品进行系统的计算搜索。他们会选择最小的底数和指数，例如3 ²，然后计算机会梳理其他底数和度数的变体，从而模仿出完美的数。尼尔森认为，该项目对他的学生来说将仅仅是一次令人振奋的研究经历，但分析结果超出了他的期望。

筛选可能性

在连续运行20个处理器三年之后，该团队发现可以用六个或更少的基数（总共21个，包括笛卡尔和Voight的示例）编写的完美数字的所有可能的模仿，以及两个具有七个除数的模拟。在计算机上使用大量分频器搜索仿真是不切实际且耗时的。但是，该小组已经收集了足够多的示例来发现以前未知的模仿属性。



该小组发现，对于给定数量的基数k，存在有限数量的模拟，这与Dixon于1913年得出的真奇数完美数相吻合。尼尔森说：“但是，如果k达到无穷大，则模仿的次数也将变为无限。”他补充说，这是出乎意料的，因为开始这个项目后，他不确定甚至发现一个新的奇数模仿，更不用说表明它们的数目是无限的了。



欧拉首次证明的结果带来了另一个惊喜：奇数个奇数的所有素数基数（除一个外）必须具有偶数度。一个人必须具有一个奇数的度数-这被称为欧拉度数。大多数数学家认为，奇数完美欧数的Euler度始终为1，但研究小组表明，模拟可以随心所欲地进行。



该团队通过放宽模仿定义中的要求找到了一些发现，因为没有明确的数学规则来描述它们-仅要求它们必须满足等式σ（n）= 2n。研究人员允许存在非主要碱基（如笛卡尔的示例）和否定碱基（如Voight的示例）。但是，它们通过允许模仿具有多个相同的基础而走得更远。例如，一个基数可能是7 ²，另一个基数可能是7 ³，它们是分开写的，而不是7 ⁵。或者他们让原因重演，例如在模仿中3 ² ×7 ² ×7 ² ×13 ¹ ×（−19）²... 术语7 ² ×7 ²可以写成7 ⁴，但是模拟会失败，因为修改后的sigma函数中括号的扩展会有所不同。



鉴于模仿与实奇数完美数字之间的显着差异，人们可能会问一个问题：前者如何帮助找到后者？

前进的方向？

尼尔森说，模仿是奇数完美数字的概括。奇数完美数字是包括模仿在内的更大家族的子集，因此奇数完美数字必须具有模仿的所有属性，以及附加的甚至更严格的限制（例如，所有理由必须简单的条件） ...



尼尔森说：“对于较小的子集，必须遵循较大集合的任何行为。” “因此，如果我们发现不适用于有限类的模仿行为，我们可以自动丢弃奇数完美数的可能性。”例如，如果可以证明所有模拟都可以被105整除（这对于像西尔维斯特（Sylvester）在1888年所展示的那样，对于奇数完美的数是不可能的），那么该问题将得到解决。



但是，到目前为止，他们还没有成功。尼尔森说：“我们发现了关于模仿的新事实，但没有人否认奇数的存在。尽管这种可能性仍然存在。”通过进一步分析当前已知的模仿，并在将来可能的情况下补充其清单，尼尔森（以及这两个方向的发展都归功于他）和其他数学家可以发现模仿的新特性。



银行认为这种方法值得。他说：“探索奇数模仿可以帮助理解奇数完美数的结构（如果有的话）。” “而且如果没有奇数完美的数字，那么研究奇数模仿可以证明这一点。”



其他关于奇数完美数字的专家并不那么乐观。沃翰说，杨百翰大学的团队“做得很好，”但我不确定我们是否即将解决奇数问题。这确实是很久以来的任务，而且很可能还会持续下去。”佐治亚大学的数学家



保罗·波拉克（Paul Pollack）也持谨慎态度：“如果我们能够查看模拟列表并查看其某些特性，并且以某种方式证明不存在具有该特性的奇数完美数值，那就太酷了。这将是一个梦想，但似乎实在太好了。”



尼尔森（Nielsen）认为成功的机会很小，但是要解决这个古老的问题，数学家必须尽一切努力。而且，模仿的研究才刚刚开始。他的小组已经采取了一些早期步骤，并且已经发现了这些数字的意外属性。因此，他对在模仿中发现其他“隐藏结构”的可能性感到乐观。



尼尔森（Nielsen）已经基于一种事实，即迄今为止所有发现的模仿（除了笛卡尔的原始例子之外）都至少有一个负面依据，这一事实已经确定了一种可行的策略。如果我们证明所有其他模仿都必须具有负数基数，那么这证明不存在奇数完美数，因为根据定义，它们的基数必须是简单且为正数。



尼尔森说：“这似乎是一项艰巨的任务，因为它涉及到更大，更笼统的数字类别。“但是有时候，当您将问题转变为看似更困难的问题时，您会看到解决方案的路径。”



在数论中，需要耐心-有时问题很容易提出但很难回答。尼尔森说：“您有时必须考虑很长时间，并要特别注意它。” -我们正在前进。我们正在挖地雷。我们希望，如果我们挖掘足够长的时间，我们就能找到一颗钻石。”