🗑️ 💂 🧑🏿‍🤝‍🧑🏻 Schwarzschild度量中空间曲率的几何表示 👱 👩🏻‍🤝‍👨🏾 👩🏾‍🤝‍👨🏻

...或二加二等于四。

要理解这篇文章，学校的数学课程就足够了。

Schwarzschild度量标准中的因素形式长期以来一直以其精妙的重复性困扰着我，因此我决定花一些时间寻找方法来对其进行转换。Schwarzschild度量本身是通过解决真空情况下的广义相对论而获得的（能量动量张量为零）：

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

它描述了任意紧凑的大型物体附近的时空连续体。紧凑，这意味着形式的偏差相对于质量而言微不足道。简单地说，圆而紧。通常以黑洞为例。由于某种原因，没有人提供非紧凑对象的示例。气密性泡沫棒，在空旷的空间中与无形物体（例如非紧凑物体）无限距离。远处的立方马，从中也可以看到他眼中的悲伤。

通过3球体的体积

我们将更换：

M = \frac{E}{c^{2}}

$M=\frac{E}{c^2}$

然后，指标将变为：

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

只需要替换就可以引起人们对光速的第四度的注意，因为公式中的所有数字都很重要。整个物理学史都证明了这一点-随时间推移凭经验获得的任何公式都将获得理论基础，解释其中包含的所有数学形式的含义。

通常，在此度量的表示中，与物理常数和创建场的物体的质量相关的部分用Schwarzschild半径表示：

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$

因为指标在这一点上具有奇异性。在这里，时间实际上停止了。

整个指标如下所示：

d s^{2} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

但是，在继续对现象的物理本质进行推理时，有两个：

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$

还必须理解。因此，我们将其表示为：

u = \frac{G E}{c^{4}}

$u = \frac{GE}{c^4}$

只是引力半径的一半

r_{s}

$r_s$ ，并且尺寸相同。我们得到：

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = 1 - 2 \frac{u}{r}

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r}$

它表明自己：

= (1 - 2 \frac{u}{r} + \frac{u^{2}}{r^{2}}) - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(1 - \frac{u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(\frac{r - u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} =

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} =$

= \frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} (1)

$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$

还不错。让我们画画。想像

r = O B

$r = OB$ 末段

u = O A

$u = OA$ -它的一部分，如下图所示。很明显

(r - u) = A B

$(r-u) = AB$ ...

顺便问一句，

r_{s} = 2 u

$r_s = 2u$ 因此，这一点

A

$A$ 位于能量对象的事件视线之后（下方）

E

$E$ ... 很容易找到它，但是我们找不到。

现在我们将说明形式的关系

(1)

$(1)$ 将对垂直于的几何位置的所有点执行

O B

$OB$ 在这一点上

A

$A$ ：

\frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} = \frac{((r - u)^{2} + a^{2}) - (u^{2} + a^{2})}{r^{2}} = \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} (2)

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2)$

对于任何

b = C B

$b = CB$ 和

d = O C

$d = OC$ ...

简而言之，平方差

(r - u)^{2} - u^{2}

$(r-u)^2 - u^2$ 等于其投影到任何数量的差

O B

$OB$ 是

A B

$AB$ 和

O A

$OA$ 分别规定

C

$C$ 他们有共同点。

此外，假设

u = u (E)

$u = u(E)$ 和

(r - u)

$(r-u)$ 相反，预测

r = O B

$r = OB$ 在某些轴上，即勾股定律的两个量，其原始形式彼此垂直。将其转化为需求，考虑案例

∠ O C B = π / 2

$\angle{OCB} = \pi/2$ 的确如此：

b^{2} = r^{2} - d^{2} \to (2) \to \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} = 1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} (3)

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$

我们将完成

(3)

$(3)$ 与初始迭代类似：

1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} = (1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} + \frac{d^{4}}{r^{4}}) - \frac{d^{4}}{r^{4}} = \frac{(r^{2} - d^{2})^{2} - d^{4}}{r^{4}} =

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

= \frac{b^{4} - d^{4}}{{\sqrt{b^{2} + d^{2}}}^{4}} = \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} (4)

$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$

这是第四学位。3球的体积公式：

V = \frac{π^{2} \cdot R^{4}}{2}

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$

我的意思是，如果您乘以除法

(4)

$(4)$ 上

π^{2} / 2

$\pi^2/2$ ：

\frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{2}{π^{2}} \cdot \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{V_{b} - V_{d}}{V_{r}} (5)

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$

那么Schwarzschild度量中的因子变成围绕一个点相对于场中心的两个径向投影而构建的两个3球的体积之间的差，该体积与该点与场中心之间的总距离形成的3球的体积有关。

考虑到总半径由投影给出的事实，整个结构非常简洁地由两个参数设置，其中一个与能量有关，而第二个与能量无关。恰好有两个坐标。

结论

这种表示的显着结果是：

1.从乘法器的形式可以看出，光子的行为限制了五维时空的可见区。在其外部，您可以隐藏引人入胜但看不见的东西。

2.第二个隐藏坐标的存在消除了零时间悖论。

3.由于大块物体周围的空间曲率总是可以分解为两个分量，其中一个分量与物体的能量有关，第二个分量仅与空间有关，因此下一步是求解五维时空真空情况的广义相对论方程。下一篇文章将对此进行更多介绍。

奖金。对角

显然，可以通过平面角来表示某个点处的场的重要性，这表示运动轨迹与平面空间的偏差（在没有重力场的情况下）。

让我们表达数量

b

$b$ 和

d

$d$ 对角

α = ∠ O B C

$\alpha = \angle{OBC}$ ：

b = r \cdot \cos α; d = r \cdot \sin α

$b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$ ... 我们称其为轨迹的曲率角。然后可以用非常不同的方式来表达该因子：

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = \cos^{2} α - \sin^{2} α = \cos^{4} α - \sin^{4} α = 1 - 2 \sin^{2} α =

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha =$

= \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α} = \cos 2 α (6)

$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6)$

我特别喜欢切线版本。

替换为原始间隔：

d s^{2} = - \cos 2 α \cdot c^{2} d t^{2} + \cos^{- 1} 2 α \cdot d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

一切都应变成平坦的Minkowski度量

α = 0

$\alpha = 0$ ...

绝对应该有五分之一...

待续。

Schwarzschild度量中空间曲率的几何表示

通过3球体的体积

结论

奖金。对角

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