三位数学家回答了有关12面柏拉图固体上的直线路径的基本问题
尽管数学家已有2000多年的历史了[[甚至可能/更多。翻译]分析五个规则多面体（柏拉图式固体）的结构-四面体，六面体（立方体），八面体，十二面体和二十面体-我们对它们仍然了解不多。
因此，三位数学家回答了有关十二面体的最基本问题之一。
假设您正站在规则多面体的一个顶点上。是否有一条直接的路径，可以沿着该路径返回到起点而无需经过任何其他顶点？对于由正方形或等边三角形组成的其他四个规则多面体-四面体，立方，八面体和二十面体-数学家最近给出了对这个问题的否定答案。从一个顶点开始的任何直线路径都将碰撞到另一个顶点，或者永远沿图形表面缠绕，而不会返回到起点。但是，数学家不知道对由12个五边形组成的十二面体会有什么期望。
现在，Jadev Atreya，David Olicino和Patrick Hooper已经证明，十二面体上确实存在着无数种这样的路径。他们的论文于5月发表在《实验数学》杂志上，表明这些路径自然可以分为31个家族。
要找到解决方案，需要使用现代技术和计算机算法的汇编。 “大约二十年前，这个问题已经无法解决； 10年前，编写所有必要程序需要付出巨大的努力。直到今天所有因素都汇集在一起，”来自巴黎Jassi数学研究所的Anton Zorich在一封电子邮件中写道。
该项目始于2016年，当时华盛顿大学的Atreya和布鲁克林学院的Olicino开始使用一组折叠成规则多面体的扁平形状进行演奏。在多面体的组装过程中，Olicino意识到，最近在平面几何体上积累的材料可能对于理解十二面体上的直线路径很有用。 “我们从字面上将这些碎片从零散的碎片中组装出来，” Atreya说。 “研究人员的好奇心与一个新的机会相吻合。”
研究人员与纽约城市学院的胡珀一道，找出了如何对从一个角进入并绕过另一个角的所有直路径进行分类的方法。
正如霍华德·马祖（Howard Mazur）所说，他们的分析是“优雅的解决方案”。来自芝加哥大学。“这是我可以毫不犹豫地说的情况之一：哇，我为什么不呢！”
隐藏的对称
尽管数学家们一直在谈论十二面体上的直线路径，但是由于在“传递面”领域获得了新的知识，近年来对该主题的兴趣重新兴起。这种表面是通过将多面体的平行面粘合在一起而形成的。事实证明，它们对于探索与以下形状有关的，与直线路径有关的主题非常有用：从台球的轨迹到有关单个光线是否可以照亮镜面墙壁的整个房间的问题。
所有这些任务的基本思想是展开形状，以便研究其后的路径变得更加容易。要了解沿着规则多面体的直线路径，可以从切割足够的边缘开始，以便可以在平面上扩展它们，如数学家所说，形成网络。例如，立方体的网络之一是“ T”形，由六个正方形组成。
大卫·奥利西纳（David Olicina）和贾德夫·阿特雷亚（Jadev Atreya）在2018年制作的纸面十二面体证明了从一个顶点返回到它的路径而又不跨越其他顶点的能力。
想象一下，我们已经扫描了十二面体，而现在我们正沿着特定的方向行进。迟早我们会偶然发现网的边缘，此后，我们的路径将跳至相邻的五边形（在切割十二面体之前已与当前五边形粘合在一起）。跳跃时，路径会同时旋转一个角度，该角度的值可被36度整除；
为避免所有这些跳跃和回转，当遇到边缘时，我们可以将新的旋转的网状复制粘贴到其上并继续笔直行走。然后，我们将添加冗余：我们将有两个不同的五边形，分别表示原始十二面体的五边形。我们使世界变得复杂，但我们简化了道路。每当我们需要超越世界的边界时，我们都可以继续添加新的网络。
到路径通过10个网时，我们将原始网格旋转所有可能的角度（可被36整除），并且添加的下一个网格的方向将与开始时的网格匹配。事实证明，第11个网络是通过简单的转换而从原始网络获得的-正如数学家所说，是通过转移获得的。除了粘贴第11个网格以外，我们还可以将第10个网格的边缘粘贴到原始网格的相应平行边缘上。我们的图形将不再是平坦的，但是数学家认为它“记住”了其先前化身的平坦几何形状-因此，例如，如果路径在尚未粘合的图形上是直线的，则将其视为直线。完成对应平行边的所有可能的粘合后，我们得到了所谓的。转移面。
Atreia在他的右手上刺上了他最喜欢的转印面-双五边形，
结果是十二面体的高度冗余表示，每个五边形都包含十个副本。而且事实证明它要复杂得多-它以带有81个孔的甜甜圈形式粘在一起。但是，这种复杂的形式使三位研究人员了解了丰富的转移表面理论。
面对如此巨大的表面，数学家们无论是在形象上还是在字面上，都卷起了袖子。与她一起工作了几个月后，他们意识到81孔的甜甜圈表面不仅代表了十二面体，而且代表了最常研究的传递表面之一。这是一个双五边形，它是通过沿一个边缘粘合两个五边形，然后粘合所有平行边以制成带有两个孔和一组较大对称性的甜甜圈而获得的。
此外，这个人物被纹身在阿特雷亚的手臂上。 “我已经知道并喜欢这个双五边形，”阿特雷亚说。他在和奥利奇诺开始思考十二面体的一年前就染了纹身。
由于双五边形和十二面体是几何表亲，因此前者的高度对称性可以帮助理解后者的结构。 “这是一个极好的潜在对称性，”芝加哥大学的亚历克斯·埃斯金（Alex Eskin）说（他在15年前就为Atreya的博士论文提供了建议）。 “十二面体具有如此潜在的对称群是非常了不起的。”
Jadev Atreya分享了他和他的同事如何解决在十二面体上寻找直线路径这一长期存在的问题，
这些表面之间的关系使研究人员能够利用由卡尔斯鲁厄技术学院的Miriam Finster开发的高度对称的转移表面分析算法。通过调整其算法，研究人员能够找到十二面体上所有返回并返回到一个顶点的直线路径，并根据十二面体的隐藏对称性对其进行分类。
Atreya将这种分析描述为“我整个职业中最有趣的项目之一”。 Jadev说，不断地玩不同的东西非常重要。
新结果表明，即使人们已经研究了数千年的那些物品，也可能隐藏着秘密，埃斯金说。“我认为即使对于这三位数学家来说，他们也能对十二面体说出新的话，实在令人惊讶。”