二阶圆曲线

如您所知，贝塞尔曲线无法构造圆弧或椭圆形。本文讨论了没有此缺点的曲线。

贝塞尔曲线

通过以下动画可以很好地理解贝塞尔曲线的构造逻辑：







要直接从图形表示中获取公式，定义两个点之间的线性插值辅助函数就足够了，在该辅助函数中，当参数t从0变为1时，它将返回从a到b的中间值：

$$

$$mix(a,b,t) =a (1-t)+b t$$

有了它的帮助，您可以持续找到必要的要点-首先找到

$$

$$ac = mix(a, c, t)$$

和

$$

$$cb = mix(, b, t)$$

然后通过他们找到

$$

$$d = mix(ac, cb, t)$$

如果需要，可以将函数彼此替换并缩短-尽管这不会特别简化计算，但可以将曲线泛化为任意数量的控制点（通过伯恩斯坦多项式）。就我们而言，

$$

$$d = a (1-t)^2+b t^2+2 c t (1-t)$$

轻松增加曲线的阶数-初始点设置不恒定，但是由于在n + 1个其他控制点之间进行插值：

圆曲线

圆弧

为了以类似方式构造圆弧，有必要确定适当的构造逻辑-类比于用罗盘绘制圆。





最初，我们不知道圆的中心d-它是通过与点a和b处的切线垂直的交点找到的（以下称节点）；切线本身是使用c点指定的（以下称为准则）。为了产生任意的圆弧（小于180°），从方向点到节点的距离相同就足够了。

椭圆弧

构造椭圆弧已经更加困难-您需要两个沿不同方向旋转的矢量（此处有更多详细信息）





使用上述找到点d的方法，我们不再能够构建椭圆的任意弧-仅从0°到90°（包括旋转一定角度）。

下弧线虫

设置条件，即矢量在图纸的开始和结尾必须位于一条直线上，在所有其他情况下，我们都得到了下摆线的弧线。这种情况不是偶然的，并且（除了曲线的独特定义之外）还保证了节点处切线的重合。结果，两个向量行进的角路径将不同，但仍加起来为180°。





在以下动画中可以看到曲线形状如何根据引导点的位置而变化：

算法

由于这里我们在二维平面上旋转，因此方便地用复数描述构造这些曲线的数学方法。



1）找到从方向点到节点的切线法线的交点：

$$

$$d=\frac{(2 a-c) (c-b) a^*+ (2 b-c) (a-c) b^*-c (a-b) c^*}{(c-b)a^*+(a-c) b^*-(a-b) c^*}$$

（此处的星号表示复杂的共轭）。



2）知道d，我们找到法线的长度

$$

$$r_{\text{ad}}=\left| a-d\right|$$

$$

$$r_{\text{bd}}=\left| b-d\right|$$

以及它们的和与差

$$

$$r_m=\frac{1}{2} \left(r_{\text{ad}}+r_{\text{bd}}\right)$$

$$

$$r_s=\frac{1}{2} \left(r_{\text{ad}}-r_{\text{bd}}\right)$$

3）我们找到开始构建的单位向量

$$

$$v=\frac{a-d}{\left| a-d\right| }$$

4）找到每个向量必须通过的角路径

$$

$$\phi _m=\arg \left(\frac{a-d}{b-d}\right)$$

$$

$$\phi _s=\arg \left(-\frac{a-d}{b-d}\right)$$

5）逐步将t从0更改为1，我们通过公式找到属于曲线的点

$$

$$d+v \left(r_m e^{-i t \phi _m}+r_s e^{-i t \phi _s}\right)$$

圆形花键

就像Bézier曲线一样，这些曲线可以组合以创建分段连续的样条曲线。为了确保锚点的平滑度（对接），锚点必须与两个相邻方向点成一直线。为此，您可以不显式指定锚点，而可以通过方向点的插值来指定。也完全无法完全指定它们，而是完全自动计算-例如，作为参考点之间的平均值：







在右边，为了进行比较，对二阶Bezier曲线使用了相同的方法。

注意事项和细微差别

与贝塞尔曲线不同，此处的曲线并不总是位于连接控制点的线的形状内





此外，当方向点与锚点位于同一条线上时，有一种退化的情况需要单独处理。在这种情况下，曲线退化为一条直线，并且在尝试计算点d时，会被零除。



这些曲线也限制了直线的曲率，因为该算法选择了要遵循的最小路径，并且该曲线的绕角不能超过180°。这导致以下事实：通过分段连续插值，在方向点的某个位置（右侧-贝塞尔曲线的相同点）可能会出现尖角：

结论

所考虑的构造曲线的方法的进一步发展是，涉及构造曲线的向量的数量增加，因此，方向点的数量也增加。但是，与Bezier曲线不同，顺序的增加在此并不明显，需要进行单独的思考。将它们与Bezier曲线组合的各种方法也是可行的-特别是对绘制矢量的圆心进行插值。



构造曲线的方法也不是唯一的方法，其特殊情况是圆弧和椭圆形-至少可以通过平行四边形中的直线相交来构造椭圆（但是，作者在此版本中失败了）。可能还有其他解决方案，包括本文中描述的选项-如果您对此主题有所了解，请在评论中写下。



可以从GitHub下载本文的源代码。