Nanosoft JSC Femap产品经理Filipp Titarenko
简介，或者为什么以及本文的内容
并非所有工程师都知道如何解决非线性分析问题。对于许多人，即使是那些专门从事有限元分析程序中的计算的人，“非线性分析”一词也容易引起误解甚至令人恐惧。那些试图通过传递带有大量设置的回想窗口解决一些问题的人，有些图表会移动到某个地方，但同时某些东西“不会收敛”（图1）。但是，不仅科学问题，现代工程规范和标准也经常需要在计算模型中考虑非线性。此外，这些要求不仅存在于航天，航空和机械制造行业。因此，例如，合资企业的规则集385.1325800。2018年“进行渐进倒塌保护建筑物和结构”进行计算时，需要考虑几何和物理（塑性，蠕变等）非线性。
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如今的统计数据使得大约90％的计算属于线性分析。从经济的角度来看，线性分析是快速，简单和廉价的。但是，如果您需要计算对冲击的响应，考虑惯性效应，跟踪温度或其他参数随时间的变化，考虑存在接触面，几何非线性或材料行为的复杂机制，那么就必须进行非线性分析和正确配置求解器的能力。非线性的主要类型是物理几何形状以及由于存在接触表面而引起的。
在Runet（以及全球网络）上，有两种关于非线性有限元分析的条件性教学材料：1）关于在CAD系统中单击位置和顺序以单击以计算“梁，加热，支架，当前...”，或2）可以而且应该长期研究的厚厚的大学教科书/科学论文或多页用户手册...但是在未来的几天和几周内，不可能自己计算出一些东西。
本文是作者尝试的，使用特定CAD系统中的特定示例来说明用于从头到解决方案进行非线性静态分析的算法，同时提供与求解器设置相关的理论基础的一些说明。
我们将使用NX Nastran求解器解决Femap前置处理器中的问题，该解决方案自上世纪70年代中期以来就证明了其可靠性，准确性和速度。我使用的是Femap 2020.2，但总的来说，解决此类问题的算法不仅在Femap的早期版本中相同，而且在其他FE计算复杂体中也相同。
我们将训练什么？非线性静态分析
不，与旧喜剧电影的英雄不同（图2），我们不会训练猫。
图2
我们必须计算超出钢材屈服强度的L形支架。支架的真实原型可以是攀登螺栓，国际空间站上的支架或铰接通风外墙的元素。我之所以选择它，是因为，一方面，我不想采用完成的模型；另一方面，不花很多读者的时间在创建几何图形上会很高兴。从模型的角度来看，一切都将尽可能简单，我将更加关注理论和求解器设置。通过这种方法，读者将有机会独立地重复整个过程-从创建模型到数值分析。甚至进行自然实验。
在准备物品的过程中，我在家中发现了一个类似但有孔的支架（图3），我以前用屈服点以上的钳子将其取下-尽管固定的边界条件不同。而对于其他目的-不是科学和实验，但对于家用而言...
图3
但是，如果你愿意，你可以随时验证数值实验：这种支架在所有的硬件商店。
一点理论：线性和非线性分析之间的区别
对于从内部计算算法的角度解决工程问题的实践，重要的是要认识到逐渐在非线性分析中施加负载，而实际上求解器始终可以解决许多问题。在线性静态分析中，始终只采取一个步骤：从初始状态到最终状态。解决非线性问题时，所有指定的载荷都不会立即施加到物体上。
非线性分析中每个后续步骤的初始数据是上一步的模型状态。此外，在每个步骤中，必须考虑到一些误差来平衡内力和外力（能量参数）（图4）。允许的误差量由收敛公差标准确定。通常，此标准设置为所施加载荷的百分比，其中载荷是指施加到模型的所有外力，或者在位移载荷的情况下是指反作用力。设置的丰富性是由伴随非线性分析的计算算法的复杂性来解释的。力收敛准则的典型值范围为所施加载荷的0.1％至1％。在解决步骤中寻找收敛时，程序可以执行许多迭代。由于这些原因，解决非线性问题比解决线性静态问题要花费更多的计算机时间。重要的是要意识到，由于各种原因（非线性的类型），多步方法可能需要问题，而求解的结果不依赖于时间。
图4
最简单的例子可以理解这一说法，是在弹塑性结构上加载应力超过屈服点的载荷。求解器事先“不知道”在模型的各个节点中的应力将在多大负载下超过此限制，因此，描述物体的应力-应变状态的方程式参数将发生根本变化。在这种情况下，在力增加的每个步骤中，都必须考虑塑性变形区域的变化。因此，该解决方案经历了增加负载的许多步骤，并且这些步骤在必要时又执行了一定数量的迭代。可以在每个求解步骤中重复进行刚度矩阵计算。刚度矩阵的重新计算频率由用户设置。可塑性是物理非线性。
由于“多步骤”和“迭代”求解过程，建议您掌握“非线性历史记录”选项卡，您可以通过运行求解器进入该选项卡。在其中，您可以根据计划实时跟踪执行的迭代次数和达到的负载水平（负载系数）。从该图，您可以分析解决方案的收敛速度。如果出了什么问题，求解器将中断求解过程并显示一条消息，指出求解未收敛。
线性分析只能用于分析具有线性材料的模型，前提是没有其他类型的非线性。线性材料可以是各向同性，正交各向异性或各向异性的。如果模型中的材料在给定载荷下具有非线性应力应变特性，则应使用非线性分析。各种类型的材料模型可用于非线性分析。
在非线性静态分析中，未考虑惯性力和阻尼力等动态现象。非线性静态解的处理与线性静态解的处理在几个主要方面有所不同，如表所示。 1。
一般的理论足以满足此要求，但是当我们使用括号分析实际示例时，当到达适当的位置时，我将在下面撰写有关如何建立用于求解由有限元方法生成的全局非线性代数方程组的算法的算法。在Femap中，可以在“ Nastran非线性分析”对话框中找到大多数设置，可通过在“分析类型”字段中设置10..Nonlinear Static并单击“下一步”多次，从“分析集”对话框中访问这些设置。但是，一切都有时间。
入门：使用NX Nastran在Femap中进行支架建模和线性分析
在命令菜单中，打开文件→首选项→几何/模型选项卡。在“实体几何比例因子”设置中，设置“米”，它对应于测量物理量的SI系统。
我们的L形支架将由两个垂直于平面的0.1边长的正方形板组成。在命令菜单中，转到“几何体”→“曲面”→“角”，并依次创建两个正方形板。
1）第一块板的顶点坐标：1）X = 0； Y = 0; Z = 0; 2）X = 0.1； Y = 0; Z = 0; 3）X = 0.1； Y = 0; Z = 0.1； 4）X = 0; Y = 0; Z = 0.1。
2）对于第二个：1）X = 0； Y = 0; Z = 0; 2）X = 0; Y = 0.1； Z = 0; 3）X = 0； Y = 0.1； Z = 0.1； 4）X = 0; Y = 0; Z = 0.1。
通过依次将这些点驱动到“定位→输入№曲面角”对话框中，我们将获得所需的几何形状。通过按Ctrl + A，我们可以在视口中心以方便的比例显示几何。
接下来，我们将创建板的材料（钢3）并定义其属性。为此，请在屏幕左侧的“模型信息”面板中，打开“模型”选项卡，然后右键单击“材料”行，然后单击“新建”。 “定义材料-ISOTROPIC”对话框打开。在标题字段中，输入名称St3。在“常规”字段中，设置“杨氏模量”，E = 2e11，泊松比，nu = 0.3，质量密度=7850。我们现在不会进入“非线性”选项卡。单击确定，然后单击取消。
让我们创建一个end元素类型并指定其属性。为此，在“模型”选项卡中，右键单击“属性”行，然后单击“新建”。将打开“定义特性-板单元类型”对话框。在标题字段中，输入名称Pl0005。在“材质”选项卡中，选择1..St3。然后单击Elem /属性类型按钮，并确保复选框在正确的位置：平面元素-板。也就是说，选择了平面有限元-板。让我们设置板的厚度，为此，在“厚度”字段中，设置TavgorT1 = 0.005。单击确定，然后单击取消。
让我们保存模型，然后按File→另存为，选择保存文件的路径和文件名。我称它为KronNonlin。
让我们设置有限元模型的网格属性。为此，请在命令菜单中单击“网格”→“网格控制”→“表面尺寸”。在“实体选择”→“选择要设置网格大小的曲面”对话框中，单击“全选”以选择所有曲面。单击“确定”，进入“自动网格大小调整”对话框。在“元素大小”字段中，设置值0.005，然后单击“确定”。现在，我们有限元的特征尺寸将为5 mm。点出现在模型的直线上，为我们提供了在创建有限元之后有关元素大小的信息。
现在让我们创建一个有限元模型。在命令菜单中，单击网格→几何→曲面。在“实体选择”→“选择要网格化的曲面”对话框中，单击“全选”并单击“确定”。在“属性”字段中，设置我们创建的1..Pl0005的FE类型，在“网格器”字段中，设置“四边形”复选框。单击确定。有限元模型已创建。现在，我们将固定支架并用外力加载。
我们将沿着六个自由度并沿着两个板的接合点的线-沿着三个自由度将四个节点的支架紧固（这种紧固最紧密地对应于用铆钉或点焊的紧固）-沿着三个自由度紧固（保留绕线旋转的可能性）。
图5
我们设置了固定的边界条件。为此，请在“约束”上单击鼠标右键，单击“新建”，然后输入名称“ Constr”。接下来，右键单击“约束定义”，然后选择“节点”。如图所示，选择四个节点。 5，我们将它们固定在六个自由度上；单击确定。在“创建节点约束/自由度”对话框的“标题”字段中，编写4个节点，然后单击“固定”按钮以约束运动旋转。单击确定。再次右键单击约束定义，然后选择曲线。在“在几何上创建约束”对话框的“标题”字段中，指定“线”，然后单击“固定-无平移”按钮以约束移动，从而保留旋转的可能性。
让我们通过右键单击“ Loads-New”来设置加载条件。新套装称为Vert。右键单击“负载定义-节点”，然后选择将要应用负载数据的四个节点。在“创建Loadson节点”对话框中，让我们将负载命名为Force600。节点力沿Y轴指向负方向。节点载荷FY的值为负600牛顿。因此，将对这四个节点中的每一个施加600牛顿的负载（即，对于所有四个节点均为240千克）。
接下来，让我们继续分析设置。在命令菜单中，选择“模型”→“分析”。按“新建”按钮选择分析类型和求解器。在标题字段中，输入线性。我们选择分析程序-36..Simcenter Nastran和分析类型1 ..静态。然后，通过单击“分析”按钮，我们开始计算。该解决方案花了我不到一秒钟的时间（！）。 Femap向我们展示了一个观察分析结果的窗口：Simcenter Nastran Analysis Monitor。分析完成0表示分析已成功完成。
在模型信息中，右键单击结果→所有结果→变形。现在，我们以夸张的形式看到了支架的变形状态。在我看来，变形状态在视觉上被夸大了，所以按F6键：“视图选项”对话框将打开。让我们转到“后处理”选项卡的“缩放”字段中的“变形样式”，将其设置为4％。模型的变形状态的可视化现在已不那么夸张了。最大位移可以在模型的左下角看到-它们是0.0026 m。
按F5键并显示整个模型的应力分布。在“轮廓样式”字段中，选中“轮廓”复选框，然后单击“变形和轮廓数据”按钮。在“轮廓”选项卡中，选择“ 7033 Plate Top Von Mises Stress”，以便Femap将显示节点处的应力。我们的模型已经变成多色，颜色反映了张力的水平（图6）。在屏幕的右侧，我们看到一个刻度，显示哪种颜色对应于哪个电压电平。要隐藏几何原始模型，请单击“ View Surfaces Toggle”图标。最大应力达到332.4 MPa，大大高于St3钢的210 MPa屈服点。
图6
因此，支架点处的应力远高于屈服点。线性分析没有考虑材料的流动性-塑性和与该现象相关的应力再分布的影响，因此，这种应力分布与实际情况不符。让我们继续进行非线性分析。
实践：使用NX Nastran在Femap中进行非线性静态分析
为了从线性模型变为非线性模型，我们只需要执行几个动作（我们不会更改分区，固定和加载条件）。
通过添加塑性变形来更改材料的特性；为此，在“材料”选项卡中，右键单击我们的材料1 ... St3，然后按“编辑”。让我们转到“非线性”选项卡，然后在“非线性类型”字段中选择“塑料”。在“屈服准则”字段中，选择0..von Mises，在“初始屈服应力”字段中，输入值210,000,000（即210 MPa）。单击确定。
NX Nastran支持以下可塑性标准：
- Mises（von Mises）-在大多数情况下用于塑料材料；
- 鳕鱼（Tresca）-用于易碎和某些塑料材料；
- Drucker-Prager-用于具有内部摩擦力的材料，例如土壤和混凝土；
- - (Mohr-Coulomb) – .
- .
在命令菜单中，选择“模型”→“分析”。按“新建”按钮选择分析类型和求解器。在标题字段中，输入Nonlinear1。我们选择分析程序-36..Simcenter Nastran和分析类型10 ..非线性静态。单击下一步按钮。在“ Nastran执行和解决方案选项”窗口中，选中“处理器数量”框，然后输入我们计算机上的处理器数量。然后，我们连续六次按“下一步”按钮，而不会更改对话框中的默认设置，直到进入“ Nastran非线性分析”对话框。这是非线性分析设置的关键窗口，因此让我们更详细地介绍这个地方并考虑其设置字段（图7）。
图7
如果需要考虑蠕变效应，请选中“蠕变”框。
在“基本”字段中，设置增加负载的步数（“增量”或“时间步长”）以及每个步骤的最大迭代数（“最大迭代次数/步数”）。对于非线性静态分析，“增量”或“时间步长”反映了负载水平。在“非线性历史记录”图中，它说明了实时执行的迭代次数，负载水平绘制在垂直轴上，称为“负载系数”。它的值在0到1的范围内。对于给定的步数，负载从0变为满；否则，负载从0变为满。在这种情况下，如果收敛条件需要，则在一个步骤内执行几次迭代。这两个参数非常重要，在每个任务中，您都应尝试在太多的“步骤”和“迭代”之间，以及在太多的步骤之间选择“黄金平均值”。如果他们太少，那么解决方案将不会收敛或对准确性产生负面影响。如果事实证明它们的数量过多，则该解决方案将消耗大量的机器功率，时间，并且可能会对融合产生负面影响。为了研究这些参数的影响，我们用括号将“步数”和“迭代次数”的不同组合多次解决了我们的问题，同时观察了非线性时间轴的图形。同时观察非线性年代图。同时观察非线性年代图。
对于非线性静态问题，可以在``刚度更新''字段中选择以下三种方法之一（AUTO，ITER，SEMI）来更新车身的刚度矩阵，以及用于更新矩阵的迭代次数（更新前迭代）。如果方法选择不正确，则将自动使用0..Default（默认）。在AUTO方法中，刚度矩阵是根据各种数值方法（拟牛顿法，具有线性迭代，半除法）的收敛性估计值进行选择，并选择一种将对刚度矩阵进行最少更新的方法进行更新。 SEMI方法类似于AUTO方法，但是刚度矩阵在更改负载后的第一次迭代中需要更新，这对于高度非线性的过程非常有效。ITER方法（在非线性时间分析中类似于TSTEP方法）在“更新前迭代”字段中指定的迭代次数后更新刚度矩阵。 ITER方法对于高度非线性的过程非常有效，在该过程中，主体的几何形状在变形过程中会发生巨大变化（例如，失去稳定性时）。
在“输出控制”字段中，指定了用于在中间加载步骤（时间步长，如果我们在谈论时间分析）时输出结果的设置。在“中间”选项卡中执行静态非线性分析时，可以选择以下选项之一：0 ..默认（默认），是（显示），否（不显示），全部（在所有步骤中显示）。通过及时进行非线性分析，可以设置显示结果之后的步骤数。
收敛容差字段指定满足负载（载荷），位移（位移）和内部功（工作）的收敛条件的容差。让我们以Femap开发人员与西门子公司NX Nastran合作开发的模型为例，考虑收敛容差对解决问题的准确性和时间的影响。
仔细检查了一个非常大的非线性模型（950,000个自由度），以确定不同的收敛标准容差对运行时间和计算精度的影响。该模型中没有热传递，缝隙或接触。研究结果表明，对于“高”和“工程”收敛容忍水平，该解决方案的准确性（与具有很高收敛容忍度的解决方案相比）都可以实现。估算的收敛公差等级产生的结果与较高的公差等级具有相同的总体趋势，但是对于工作草案而言，答案不够准确。随着收敛容限的降低，计算速度更快。表2，呈现的趋势可以被量化。
在“解决方案策略替代”字段中，设置用于求解由有限元方法生成的代数方程的全局非线性系统的过程的设置。要有意识地更改这些设置，您需要具有知识和经验-如果他们还不够，最好保留默认设置。这里有一些解释。
弧长方法考虑到有关身体节点位移的信息来设置时间步长（附加载荷）的值-如果任务与急剧变形（稳定性损失）相关，则应使用该方法。
Full Newton-Raphson方法收敛很快，但是在每次迭代时为代数方程组的完整矩阵创建附加矩阵需要花费更多时间。
修改的牛顿-拉夫森方法不需要此操作，但收敛速度慢得多，因此可以使用其他程序来加快速度：线搜索，拟牛顿（准牛顿加速度）和/或对分（半除法）。
因此，我们分析了非线性静态分析的基本设置（及时进行非线性分析的设置与它们非常相似）。要在“ Nastran非线性分析”窗口中计算括号，请设置以下参数：在“增量或时间步长”字段中-50，最大迭代次数/步骤-5，刚度更新方法-1..AUTO，更新之前的迭代次数-5，中级-1..YES ...其余设置保持不变。单击“确定”，然后转到“分析集管理器”窗口。要开始计算，请按“分析”按钮。 Femap将自动打开Simcenter Nastran Analysis Monitor窗口。通过将复选框从日志移动到非线性历史记录，我们进入非线性历史记录选项卡（图8）。
图8
它显示一个图形，该图形实时显示执行的迭代次数和（在我们的非线性静态分析的情况下）负载因子，即从0到1的负载因子。在右上角，我们看到有关当前迭代次数的信息。请注意，这不是加载增量的步骤编号，而是当前迭代的编号。负载增量的每个步骤都可以包含多个迭代-这对于执行实现解决方案收敛的算法是必需的。如果增量未收敛，则意味着负载变化太大，无法继续进行下一步；减少了负载-在一个步骤内执行其他迭代。
在模型信息窗口中，打开结果→所有结果选项卡。双击解决方案行可在0到100％的不同负载水平下打开结果。让我们一起分析非线性时序图和在不同载荷水平下支架的应力应变状态。
在0到0.62（负载系数）的负载水平下，应力小于210 MPa的屈服强度，此后支架钢开始塑性变形。单元1对应于四个节点的240 kg的总施加负载。最大应力以红色突出显示-它们集中在表面相交线附近。在0.62到1的载荷水平下，塑性变形区增加-最大应力（与线性分析相反）不会增加。负载因子为0.82时，曲线的增长率降低，这意味着每个步骤需要更多迭代才能满足收敛条件。我们能够达到满负荷1-最大排量为0.00283 m。在某些情况下（例如，如果我们显着增加了载荷），则变形体的几何形状会严重扭曲，以至于使用此策略（求解器设置）无法实现收敛。如您所见，非线性分析的结果在质量和数量上都与线性分析的结果不同。
让我们执行另外三个计算，为增量和迭代的步数设置不同的设置（图9）。在第一种情况下，设置增量或时间步长-50，在最大迭代次数/步长-5中设置
图9
在第一种，第二种和第四种计算情况下均满足收敛条件。在第3个设计案例中，在0.8的负载水平下出现了致命错误，说明了解决方案未收敛。请注意，在第二次和第四次计算中，成功执行了求解（满载1），并且步骤和迭代的数量明显减少。我们的模型非常简单，所有计算都在不到5秒的时间内完成。在大型模型上，通过选择正确的负载增量和迭代次数可以节省大量机器时间。
结论
许多问题仍然不在本文讨论范围之内：多阶段加载（Case和Subcase的应用），非线性接触的应用，及时的非线性分析，解决方案“崩溃”时的作用。但是我希望这篇文章的主要目标已经实现-那些在解决非线性问题方面没有丰富经验的读者现在拥有最少的理论知识和实用图像，可以开始进行非线性有限元分析。
文学
- 基本非线性分析用户指南。西门子。
- 鲁达科夫 Femap 10.2.0。结构的几何和有限元建模。K .: KPI，2011 .-- 317 p。
Femap产品经理 Philip Titarenko，
Nanosoft JSC
电子邮件：titarenko@nanocad.ru
尊敬的读者们，我邀请您参加在不久的将来发生的三件有趣而有用的事件：
- 8月20日，我将举办一个免费的网络研讨会“使用NX Nastran在Femap中进行非线性分析”。
- 9月17日，我将在网络研讨会“使用NX Nastran进行Femap中的联系任务”等您。指向链接的链接将在接下来的活动部分中显示。
在网络研讨会上，我将很乐意回答您的问题。 - 2020年Femap研讨会将于9月9日至10日举行，在此期间，来自俄罗斯工业公司的专家和来自西门子的Femap开发人员将分享他们在有限元建模领域的工程经验和技能。要了解有关研讨会的更多信息，请单击链接。
可以在此处下载 带有NX Nastran的Femap的免费试用版。