为什么数学家喜欢以不同的方式证明相同的结果？
由正整数在此六角形螺旋上的黄点表示的质数浓度随距数字线起点的距离而减小。关于质数分布的定理描述了多次被证明的规律性。
匈牙利数学家帕尔·鄂尔多斯（Pal Erdos）曾说：“您不能相信上帝，但您需要相信这本书。”...该书仅在理论上存在，包含最重要定理的最优雅证明。埃尔德的断言暗示了数学家继续寻找已经证明的定理的新证据的动机。他们的最爱之一是素数分布定理，这样它们只能被自身和1整除。尽管数学家不知道证明是否会进入“书”，但两个竞争对手同时争夺第一名，这些证明同时独立发生于1896年由Jacques Hadamard和Charles Jean de LaVallée-Poussin发现。
那么这个定理到底是什么呢？
关于素数分布的定理使得可以近似不超过给定数n的素数。该值称为π（n），其中π是质数的分布函数[与数π/约不相关。翻译]。例如，π（10）= 4，因为存在多达10（2、3、5和7）的4个素数。同样，由于前100个中有25个素数，因此π（100）= 25。在前1000个数字中，有168个素数，因此π（1000）= 168，依此类推。请注意，当查看前10个，100个和1000个整数时，它们中的质数百分比分别从40％降至25％和16.8％。这些例子暗示了，素数定理证实，不超过给定数的素数密度随该数的增加而降低。
但是，即使您有一个有序的整数列表（例如，一兆），也有谁想要手动计算π（1,000,000,000,000）？素数定理提供了节省能源的机会。
它说π（n）渐近等于n / ln（n），其中ln是自然对数。渐近相等可以看作是粗略的相等，尽管这并非完全正确。例如，让我们估计素数不超过1万亿。可以不用计算单个质数来计算π（1,000,000,000,000），而是可以使用该定理来发现大约有1,000,000,000,000 / ln（1,000,000,000,000），等于36,191,206四舍五入到最接近的整数时为825。而且，该估计值与实际值37 607 912 018的差额仅为4％。
在渐近相等的情况下，精度随着公式中替换数字的增加而提高。实际上，我们越趋近于无穷大-它本身不是数字，而是比任何数字都多的东西-渐近相等接近于实数相等。尽管素数的实数始终表示为整数，但渐近等式另一侧的值（即自然对数出现的分数）可以在实线上取任何值。实数和整数之间的这种联系至少可以说是违反直觉的。
所有这些，甚至对于数学家来说，都令人不寒而栗。最令人不快的是，关于素数分布的定理的陈述并没有说明为什么这样的关系成立。
“该定理本身从未具有任何价值。一切都与证明有关，”澳大利亚昆士兰科技大学数学教授迈克尔·博德说。
Hadamard和LaVallée-Poussin的原始证明是优雅的，但它们是基于复杂分析（对复数函数的研究）而被某些人不喜欢的，因为定理本身的主张与复数无关。然而，戈弗雷·哈罗德·哈迪（Godfrey Harold Hardy）在1921年宣布了非分析性证据的出现-所谓的。基本证明-关于素数分布的定理“极不可能”，并指出，如果有人发现，“他们将不得不重写该理论”。
阿特尔·塞尔伯格Erdös亲自接受了挑战，并于1948年使用对数的性质分别发布了素数定理的新的独立初等证明。这一证据促使其他数学家考虑对数论假设采用相似的方法，这些方法以前被认为对于这种复杂的陈述过于简单。结果，获得了许多有趣的结果，包括1985年Helmut Meier关于素数分布中意外的不均匀性的基本证明。西北大学的数学家弗洛里安·里希特（Florian Richter）
说：“素数定理有很多未解决的问题，”他最近发表了新的基本证明这个著名的声明。 Richter在尝试证明素数定理的深远影响时发现了它。
随着时间的流逝，数字理论家已经帮助建立了一种文化，数学家可以在该文化中证明和重新证明定理，不仅可以测试主张，还可以提高他们的定理证明能力和对所用数学的理解。
这超出质数定理的范围。 Paulo Ribenboim收集了至少7个质数无穷大的证明。 Stephen Kifovit和Terra Stamps确定了20条证据，表明谐波序列1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ...不能收敛到有限数，而Kifovit给他们加了28...布鲁斯·拉特纳（Bruce Ratner）列出了勾股定理的371多个证明，其中包括Euclid，Leonardo da Vinci和第20任美国总统詹姆斯·艾布拉姆·加菲尔德（James Abram Garfield）的出色例子，当时他是俄亥俄州的议员。
寻求重复证据的习惯在社区中根深蒂固，以至于数学家几乎可以依靠它。汤姆·埃德加（Tom Edgar）和亚俊安（Yajun Anh）指出，互惠的二次定律，除了1796年的高斯原始证明之外，还有246个证明。他们绘制了证据量与时间的关系图，并推断出到2050年，有望获得该定律的第300个证据。
堪萨斯大学的研究生索非亚·雷斯塔德（Sofia Restad） 说：“我之所以喜欢旧定理的新证据，是因为我喜欢通往通往我所知的地方的新道路和弯路。” 这些新的道路使数学家对他们的智力追求所处的位置具有空间感。
数学家们可能永远不会停止寻找新的，更清晰的方法来证明素数定理和他们最喜欢的定理。幸运的是，其中一些甚至很荣幸被列入“书”中。