社交距离数学是一门几何课

如何安全地重新开放办公室，学校和其他公共场所，同时又使人们保持一米半的距离的挑战归结为一个数学家已经研究了数百年的问题。

看起来像球的填充这样的话题只会吸引数学家。还有谁对寻找最有效的方法将圆放置在平面或球形空间上感兴趣？



但是，今天，全世界有数百万人正在认真考虑这一任务。



确定如何在保持社交距离的同时安全地打开建筑物和公共空间，尤其是几何方面的练习。如果每个人都必须与其他人至少相距一米半，则为了计算可在教室或饭厅中坐的人数，您需要在平面图上打上不重叠的圆圈。







当然，要对抗冠状病毒，需要解决的问题比这种几何问题还多。但是，圆和球的填充在其中起作用-就像化学中的晶体结构建模和信息论中的抽象消息空间建模一样。这个任务看似简单，却占据了历史上最伟大的数学家的脑海，如今，这一领域最有趣的研究正在进行中，尤其是在更高维度上。例如，数学家最近发现了在8维和24维空间中打包的最佳方法-一种优化用于手机以及与空间探测器通信的纠错码的技术。因此，让我们看一下尝试用最简单的形式填充空间时出现的一些意想不到的复杂性。



无论您是在工作中将橘子包装在盒子中，还是要与社会保持距离而安全地让学生就座，容器的大小和形状对于您的任务至关重要。但是，对于大多数数学家来说，球体填充理论是关于填充整个空间的。在二维中，这意味着用相同大小的不相交的圆覆盖平面。



这是在平面上排列圆圈的一个示例。它看起来像一个苏打水包装的顶视图：







您可以想象如何在所有方向上重复这种图案，就像铺有平面的瓷砖一样。圆圈之间的小间隙表明该平面未完全填充，但是在填充圆圈的情况下应该可以预期。我们对飞机覆盖的百分比感兴趣。这将是特定方法的“堆积密度”。



上面的方法称为正方形堆积，并且有充分的理由-圆心可以表示为正方形的顶点。







实际上，这些正方形本身平铺了平面：







图案的对称性简化了我们的任务。由于这些正方形以周期性的方式覆盖整个平面，因此圆圈所覆盖的平面的百分比与圆圈所覆盖的正方形的百分比相同。让我们看看这些正方形之一。







假设圆的半径为r。这意味着正方形的边长是2r。正方形的每个顶点都包含一个四分之一圆，因此每个正方形的覆盖百分比仅等于一个完整圆的面积与一个完整方形的面积之比：

$$

$$\frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi r^2}{4r^2} = \frac{\pi }{4} \approx 0,7854$$

每个正方形大约有78.54％的圆圈覆盖，因此给定平面的平铺，整个正方形大约有78.54％的圆圈覆盖。这是方形包装的密度。请注意，半径r从答案中消失了。这是有道理的：无论圆圈有多大，正方形中仍然会有四分之四的圆圈。



如果您尝试像这样折叠汽水罐的侧面，然后使它们滑动并填充空隙，您就会知道还有另一种方法将圆包装在平面上：







让我们采用与上一个相似的方法，并设想在这种情况下，圆心形成规则的六边形...







我们称这种六角形填料。似乎这种方法比方形更有效地填补了空白。要检查这一点，让我们比较一下它们的包装密度。像正方形一样，六边形可以完全平铺平面，因此我们可以通过分析单个六边形来确定此方法的密度。







六角形的哪个部分被圆圈覆盖？由于正六边形的内角为120°，因此在每个角处都有一个圆的三分之一。结果是两个完整的圆圈，中间的圆圈排在第三位。因此，每个六边形被三个圆覆盖。如果每个圆的半径为r，则面积为3πr²。







这与六边形的面积相比如何？边长为S A六边形为六个正三角形与侧长度s，其中的每一个为S ² √3/ 4。因此，六边形的面积为6 * S ² √3/ 4 = 6秒² √3/ 4。由于六角形的边长为2r，因此其面积为：

$$

$$\frac{6 s^2 \sqrt3}{4} = \frac{6 (2r)^2 \sqrt3}{4} = \frac{24 r^2 \sqrt3}{4} = 6 r^2 \sqrt3$$

现在您可以计算出圆圈所覆盖的六边形的百分比（通过将六个圆的面积除以六边形的面积）：

$$

$$\frac{3 \pi r^2}{6 r^2 \sqrt3} = \frac{3 \pi}{6 \sqrt3} = \frac{\pi}{2 \sqrt3} \approx 0,9069$$

每个六边形大约有90.69％被圆形覆盖，因此，这种包装比方形包装要有效得多。请注意，圆的半径又如何如预期般消失。实际上，没有更有效的包装。



但是要证明这一点并不容易。约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）和卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）等著名的数学家在18世纪末和19世纪初开始研究这一问题，但是直到1940年代，通过仔细处理所有可能的安排（周期性和非周期性），才完全解决了这一问题。在二维中解决问题花了很多时间这一事实（所有事情都很难想象）可能警告我们在更高维度中等待着什么。



在三个维度上对球进行包装是一项艰巨的任务，尽管它与其二维表亲有一些相似之处。例如，我们考虑的二维填充物由一层组成。







对于方形包装，我们将每层放在上一层的顶部。







对于六角形填充，我们在先前的层之间放置了新层。







根据我们如何组合不同层的副本，可以获得不同的包装。



在三个维度上，层在彼此之上的这种布置产生了根本不同的包装。







正如我们在平面上最佳圆的填充所暗示的那样，这是一层六角形堆积的球体。同样，可以通过将球体放置在较低球体之间的空间中，将第二层放在第一层之上。







但是在三个维度上，几何形状变得更加复杂。在每层球体中，相邻间隙之间的距离小于球体中心之间的距离。因此，您不能将球体插入每个间隙中-它们会相交。因此，两层中的间隙对齐以创建贯穿包装的通道。







放置第三层有两种方法。您可以将间隙与底部的间隙对齐，并使通道保持打开状态。这是此布置的侧视图：







为了保持通道打开，您需要将球体放置在第三层中，位于第一层球体上方。这种球体排列称为“六方密堆积”（silo），如果您从上方看，则可以看到直通的空隙。







放置第三层的另一种方法是关闭通道。第三层中的球体直接放置在第一层的间隙上方：







这称为“面心立方”（FCC）或“立方密堆积”。从上方看时，不会有缝隙。







这两个相似但基本不同的排列在化学中出现，描述了不同材料中原子的排列。例如，在诸如银和金的金属中，结构具有HA的形式，而在诸如锌和钛的金属中则为筒仓。两种方法中的每一种都允许您用球体填充空间。在筒仓法中，每隔两层球的位置都完全相同，而在GK中则每隔三分之一。通过将这两种方法结合使用，您可以创建无限数量的不同包装，但是，料仓和GK都可以提供最佳包装，这很有趣！它们的堆积密度不仅相同，而且π3√2≈0.7405是三维空间中最密集的堆积。著名的数学家和天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）于1611年提出了这一建议，但有充分的证据在1998年，只有数学家Thomas Hales能够推断出。







3D空间中有更多空间，并且我们还有更多有效地封装球体的方法。添加尺寸时，包装的复杂性只会增加-存在更多的空间，更多的选择，而且很难想象。而且，球体在更大尺寸时会变小！







考虑一个刻在边长为1



的正方形上的圆，圆的半径为r = 1/2，因此圆的面积与正方形的面积之比为：

$$

$$\frac{\pi r^2}{s^2} = \frac{\pi (\frac{1}{2})^2}{1^2} = \frac{\pi }{4} \approx 0,7854$$

这在二维上也等于正方形的堆积密度。



现在，让我们考虑刻在单位立方体中的球体的体积。







球体的半径再次等于r = 1/2，因此球体的体积与立方体的体积之比为：

$$

$$\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{s^3} = \frac{\frac{4}{3}\pi (\frac{1}{2})^3}{1^3} = \frac{4}{3}\pi (\frac{1}{8}) = \frac{\pi}{6} \approx 0,5236$$

注意，内切球在三个维度上所占的立方体比例小于内切圆在两个维度上所占的正方形比例。这种模式仍在继续：随着尺寸的增加，该比率减小。随着n的增长，n维球体越来越少地占据n维空间。



这可以使用代数显示，但如果考虑角度，也可以理解。在任何维度上，n维球体都可以刻入n维立方体。球体接触立方体的边缘但未到达角，因此每个角周围都有一个区域，该区域在立方体内部但在球外部。但是，一个n维的盒子将有2^个n角度，即随着n的增加，球体未覆盖的区域数量呈指数增长。另外，拐角和球之间的距离也增加了。这意味着从长远来看，n维立方体内部但n维球体外部的空间只会破坏该球体占据的空间。



如果球体的收缩对您来说似乎很奇怪，则包装球体的数学家会注意到尺寸8和24甚至更出乎意料。在这些尺寸中，球体的收缩程度足以填补新球体之间的间隙，从而在这些尺寸中提供了超致密的包装。 ...提出了关于这些特殊方法的最优性的假设，但是直到2016年，Marina Vyazovskaya 证明了这一定理，人们才知道这一点。用于8维空间。一周后，Vyazovskaya和她的助手们扩展了她在24维空间中证明案件的方法。



从维亚佐夫斯卡亚（Vyazovskaya）的工作中可以得出，现在我们知道最有效的方法来包装尺寸为1、2、3、8和24的球。但是在其他尺寸上，还有很多工作要做。因此，拿出橘子和汽水罐开始实验。您可能是可以填补重要空白的人。

练习题

1.假设我们开始打包坐标平面，如下图所示。左下圆的中心位于点（0，0），右下圆的中心位于点（2，0）。







第三个圆的中心在哪里？



2.下面是球的“简单三次”堆积的开始。这种方案的包装密度是多少？







3.这是将飞机打包成规则八边形的开始。







这种包装的密度是多少？

答案

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