接下来，我们将尝试绘制瑞典克朗的折扣曲线。
这篇文章是我第三次视频讲座“构建折扣曲线”的改编版，这是Finmath for Fintech课程的一部分。
因此，我们的克朗折扣曲线将是每天的隔夜利率。我们知道的第一件事就是所谓的基准利率-短期存款（贷款）的利率。此外，已知的互换期限为一年到三十年。为了说明该方法，我们将绘制长达十年的曲线。在此图中可以看到当前的市场数据值：
要开始绘制曲线，我们需要做一些假设。
为了简单起见，我们假设掉期交易是固定的浮动掉期交易，每六个月定期付款一次。下图是一年互换的图表。我们知道，一开始的基本税率为零。要计算公平掉期价格，我们需要知道六个月贴现率和12个月贴现率的值。作为浮动的“腿”，我们将拥有什么？假设我们将为每个范围支付平均隔夜价值。也就是说，浮动“腿”的价值长达六个月-这将是180天的平均隔夜价值。 12个月点的浮动时间段将是相同的，只是在这里从181天到360天会有一个总和。
这种平均方法是众所周知的。这称为隔夜指数掉期，在市场产品中经常使用。浮动边在此定义为该期间的平均值。
我们知道基本利率和掉期成本。显然，如果我们写一个“公平”的公平价格公式，那么我们将有太多未知数。我们不知道6个月的折现率，12个月的折现率，除了一个-第一个利率之外，我们不知道利率的值。太多的未知数和一个方程式。
以下假设将有助于我们解决此问题。我们知道零点的利率-这是基准利率。我们将假设利率线性变化。让我们将12个月时的利率值指定为X。
在6个月时，它将是X / 2（0到X之间的算术平均值），我们可以找到任意一天的利率值。计算第6点和第12点的浮动利率并不困难：
现在让我们继续讲折扣因素。我们使用基于隔夜利率的折扣曲线。因此，六个月点的折现因子是每个点180个折现因子的乘积，这显然是X的某种功能
。12个月点的折现因子以类似的方式构造，唯一的区别是我需要更多的乘数。这也将是X的某种功能。
因此，折现因子用X表示，还有浮动汇率的第一和第二值。让我们继续写方程式。我们知道掉期价格的价值，比方说等于P。回想一下公平价格的等式。我们需要在12个月时将P乘以折现系数，并等于以下总和：
让我提醒您，一天的折现系数将由以下公式确定：
其中，r i是利率的值。我使用数字360的假设是一年中有360天（这是日历的非常常见的约定）。在任何给定的点上，我们都知道如何使用线性插值法来表示折现因子r i以X表示。我们的方程式证明只有一个未知数，可以使用数值方法求解。如何执行此操作-请参阅Python代码。
因此，我们知道如何找到1年点的利率值。使用线性插值的假设并基于我们从市场上获得的掉期价值，我们将找到X的值。在这里，我们绘制了曲线的第一部分：
现在，要计算两年的掉期价格，我们需要6个月，12个月，18个月和2年点的值。我们将使用与上次完全相同的假设。让我们调用所需比率Y的值，并使用关于插值线的假设，恢复曲线的第二部分。因此，我们将逐步达到最终目标-至10年。
此方法称为bootstrap。它不是完美的方法，也不是唯一正确的方法，但是它很容易实现和理解-引导方法作为入门很不错。
我们找到了折扣曲线。它给我们带来什么？正式来说，这些是未来十年内任何时候的隔夜利率的值。您可能会问：“谁需要它？”确实，很难想象有一个客户来找您说：“我想开一个为期567天的一日存款”的情况。这是一种相当不可理解的情况，不应以这种直接形式来感知所构造的曲线。
假设我们未来七年半有某种付款方式。问题：我们如何知道它的当前值？
这正是折扣曲线将要回答的问题。我们将沿着曲线的每个点进行计算，计算每个点的折扣系数，并在该点结束七年半的旅程，找到最终的折扣系数，再乘以付款-这将是一个诚实的价格。
我使用的模型，即我采用的浮动汇率，如何对中间值进行插值，以及总体而言，我选择插值的事实很大程度上取决于我拥有的数据类型。我的数据很少-只有一个基准利率和掉期价值。如果有更多可用数据或不同数据，则很可能会更改模型。但是，bootstrap方法（当您首先在较短的部分上绘制曲线，然后再依赖于先前获得的值来进行进一步绘制时）仍然适用。
现在，请记住，除了折现曲线外，我们还需要LIBOR曲线（TIBOR，EURIBOR等）。不同之处在于我们将哪些工具添加到模型中进行计算。我们将寻找包含LIBOR的合约，并以类似的方式，使用自举法，重建LIBOR曲线。
如果必须构建真实的LIBOR曲线，请务必小心使用哪些工具来构建它，并仔细评估将要使用的模型。在这种情况下，我使用隔夜贴现，但是需要使用不同的方法来构建LIBOR曲线。折价最有可能是每三个月或六个月一次，具体取决于工具。如果有足够的数据，则可以绘制LIBOR曲线，EURIBOR曲线，TIBOR曲线和其他任何曲线。
如果客户来找您：“我希望利率互换不是十年，而是134个月，我将每25天支付一次浮动LIBOR，”这不是问题。我们有一个LIBOR曲线，使用插值假设，我们可以在任何点恢复LIBOR值。我们知道折扣曲线在每个点的价值，我们还可以计算所有付款，并找到平衡这些浮动付款的固定“支路”的价格。因此，您可以通过绘制几条曲线来找到几乎任何工具的公平价格值。
因此，让我们再次浏览重点内容。我获取了可用数据并提出了一些假设。首先，支付时间表：双方多久支付一次固定支票和浮动支票的频率。其次，我将如何计算浮动边的下注？第三个假设是关于线性下注的。使用所有这三个假设，我制定了几个非线性方程，并用数值方法求解。 Jupyter笔记本可以在这里找到。从一年的最短时间段开始，依次从两年，三年等开始，我重新构建了长达10年的时间间隔的曲线。这是我的折现曲线，可用于评估任何工具。这种方法称为引导程序：曲线段（我一开始就算过），第二步中使用了它，否则，我在第二步中得到的结果，将其用于第三步，依此类推，直到曲线完全形成为止。
我希望现在您不再“浮动”于浮动利率这一主题，而可以在利率掉期中找到香草。您还可以使用bootstrap方法构建任何曲线。
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