🏂🏽 🤰🏽 🌦️ 一组噪声点对直线组合的线性逼近 💅🏼 🤲🏻 🤛🏿

问题的提法

让我们考虑通过位于给定的线组合上的点的一组嘈杂坐标来近似直线组合的问题（请参见图1和图2）。通常的线性近似公式在这里不起作用，因为这些点是混合的，结果将是它们之间的平均线（见图3）。

数字：1线组合和嘈杂的坐标集

数字：2线和一组嘈杂的坐标的组合（放大比例）

数字：3线性逼近的结果

, , . .. , , -90 +90 ( -180 180 , .. ).

, , . , , . .

, , . , , .

. , . , . -90 90 0.1 .

, .

, , :

y = k x + b, x_{p}, y_{p}

$y = kx + b, x_p, y_p$

, , , :

y - y_{p} = - (x - x_{p}) / k => y = - x / k + x_{p} / k + y_{p}

$y-y_p=-(x-x_p)/k =>y= -x/k+ x_p/k+y_p$

, :

- x / k + x_{p} / k + y_{p} = k x + b => - x + x_{p} + k y_{p} = k^{2} x + b k

$-x/k+ x_p/k+y_p=kx+b => -x+ x_p+ky_p= k^2 x+bk$

- b k + x_{p} + k y_{p} = k^{2} x + x => x = (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1)

$-bk+ x_p+ky_p= k^2 x+x => x= (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1)$

y = k (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1) + b = (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} - b k^{2} + b k^{2} + b) / (k^{2} + 1) = (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} + b) / (k^{2} + 1)

$y= k (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1)+b= (〖kx〗_p+k^2 y_p-bk^2+bk^2+b)/(k^2+1)=(〖kx〗_p+k^2 y_p+b)/(k^2+1)$

d i s t = \sqrt ((x_{p} - (x_{p} + k y_{p} - b k) / (k^{2} + 1))^{2} + (y_{p} - (〖 k x 〗_{p} + k^{2} y_{p} + b) / (k^{2} + 1))^{2})

$dist= √((x_p- (x_p+ky_p-bk)/(k^2+1))^2+(y_p- (〖kx〗_p+k^2 y_p+b)/(k^2+1))^2 )$

, , , (. . 4-6).

. , (. . 7, 8). . 7 , .

. 4 ( )

. 5 ( )

. 6 ( )

. 7 ( 1)

. 8 ( 2)

, . , (. . 9 . 10):

k = (N \sum_{1}^{N} (x y) - \sum_{1}^{N} x \sum_{1}^{N} y) / (N \sum_{1}^{N} x^{2} - (\sum_{1}^{N} x)^{2}); b = (\sum_{1}^{N} y - k \sum_{1}^{N} x) / N

$k= (N∑_1^N(xy)- ∑_1^Nx ∑_1^Ny)/(N∑_1^Nx^2 - (∑_1^Nx)^2 ); b =(∑_1^Ny-k∑_1^Nx)/N$

. 9

. 10

(. 11-13).

. 11

. 12

. 13

( ). .

, , , , .

, - . , . - , .